Loi de refroidissement de Newton

La loi de refroidissement de Newton stipule que le taux d’évolution de la température d’un corps est proportionnel à la différence entre la température de ce corps et celle du milieu environnant. 
Une tasse de café est servie à une température initiale de \(80\) °C dans un milieu dont la température, exprimée en degré Celsius, supposée constante, est notée `T` . 
Le but de cet exercice est d’étudier un cas particulier du refroidissement du café en appliquant la loi de Newton. 

Pour tout réel \(t\)  positif ou nul, on note \(\theta\left(t\right)\)  la température du café à l’instant \(t\) , avec  \(\theta\left(t\right)\)  exprimé en degré Celsius et \(t\)  en minute. 
Dans ce modèle, on suppose que \(\theta\)  est une fonction dérivable sur l’intervalle \(\left[0 \; ; \; +\infty\right[\)  et que, pour tout réel \(t\)  de cet intervalle, la loi de Newton se modélise par :  \(\theta′(t)=−0,2\left(\theta(t)−T\right)\) . 

Remarque
On note également \(\dfrac{d\theta}{dt}=−0,2\left(\theta(t)−T\right)\)  notamment en sciences expérimentales.

Dans cet exercice, on se restreint au cas particulier où  \(T = 0\) .

1. D'après l'énoncé, que vaut  \(\theta\left(0\right)\)  ?

On cherche une fonction \(\theta\)  dérivable sur l’intervalle \(\left[0 \; ; \; +\infty\right[\)  vérifiant la condition initiale trouvée dans la question 1. et, pour tout réel \(t\)  de cet intervalle :  \(\theta'(t)=−0,2\theta(t)\) .

2. Soit \(\theta\) une telle fonction. On définit, pour tout \(t\)  de l’intervalle \(\left[0 \; ; \; +\infty\right[\) , la fonction  \(f\) par \(f(t)=\dfrac{\theta\left(t\right)}{e^{-0,2t}}\)  . Montrer que la fonction \(f\)  est dérivable sur \(\left[0 \; ; \; +\infty\right[\)  et que, pour tout réel \(t\)  de cet intervalle,  \(f'(t)=0\) .

3. En conservant l’hypothèse de la question précédente, calculer \(f(0)\) . En déduire, pour tout \(t\)  de l’intervalle \(\left[0 \; ; \; +\infty\right[\)  , une expression de \(f(t)\) , puis de  \(θ(t)\) . 

4. Vérifier que la fonction \(\theta\)  trouvée à la question 3. est solution du problème.

Sujet adapté du baccalauréat Asie juin 2019